メールの送受信記録(アーカイブ)を取ることはできますか?

はい、できます。
ユーザーの送受信したメールを保管(アーカイブ)し、管理者側で検索、抽出することができます。
メールの保管期間と容量は、無期限・無制限です。

(注意)メールのアーカイブご利用には、大企業向けの上位コース(プランE3)、Exchange Online Plan 2は標準機能提供。

Business Basic, Business Standard, Enterprise E1、もしくはExchange Online Plan 1は、追加でExchange Online Archive(オプション) のご契約が必要になります。